Reference：
起源：Logistic的二类分类
Softmax回归是Logistic回归的泛化版本，用于解决线性多类（K类）的分类问题。
Logistic回归可以看作是Softmax回归在K=2时的特例。Softmax函数即是K分类版的Logistc函数。
裸Softmax回归的效果很差，因为没有隐层结构，归根还是是线性回归。所以在深度学习里，Softmax则通常作为MLP的输出层。
即，将BP网络和Softmax结合起来，取BP网络的隐层映射机制、Softmax的多分类机制，加以组合形成新的MLP架构。
这么做的原因就是，传统BP网络的输出层是个多神经元的自行设计接口层，比如常见的log2(K)方法，转多分类需要麻烦的编码。
但实际上，隐层（可看作是input）到输出层的映射原理等效于Softmax，既然Softmax拥有概率取分类的方法，何必再用低效的编码方法？
Part I 如何从2类转化为K类？
解决方案是引入K组（W、b）参数，即有K个分隔超平面，选择$max P（Y=j|x^{i},\theta,b)$作为最终分类即可。
由于存在K组参数，原来的$h(\theta)=sigmoid(Inner)$将从单个值，变成一个大小为K的向量。
Part II 变化的目标函数
Logistic的目标函数： $J(\theta)=\sum_{i=1}^{m}(1-y^{(i)})log(1-h_{\theta}(x^{i})+y^{i}log(h_{\theta}(x^{(i)}))$
在Softmax里，由于$h_{\theta}(x^{(i)}$已经变成了向量，所以不能再使用。
实际上，在Logistic的推导里，$h_{\theta}(x^{(i)})$只是偶然而已，$P(y=0|x;\theta)=h(\theta)$。
即$P(y|x;\theta))$才是真正的概率分布函数,上述情况只是二项分布的特例。由于y的取值变成的K类，所以新的K项分布概率密度分布表示如下：
$P(y^{(i)}=j|x;\theta)=\frac{e^{W_{j}X^{i}}}{\sum_{l=1}^{k}e^{W_{l}X^{i}}}$
且定义$1\{y_{i}=j\}=(y_{i}==j)?1:0$
则 $J(\theta)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=0}^{l}1\{y_{i}=j\}log\frac{e^{W_{j}X^{i}}}{\sum_{l=1}^{k}e^{W_{l}X^{i}}}$
仔细观察，其实就是$h_{\theta}(x^{(i)})$这个向量根据$y^{(i)}$情况抽取的单个值而已，这就是Logistic函数的修改版本——Softmax函数
梯度变成：$\frac{\partial J(\theta_{j})}{\partial \theta_{j}}=\sum_{i=1}^{m}x^{(i)}(1\{y_{i}=j\}-P(y^{(i)}=j|x;\theta_{j})),j=1,2....k$
可以使用梯度上升算法了（下降算法也可，即取均值加上负号，变成负对数似然函数）：
$\theta_{j}^{new}=\theta_{j}^{new}+\alpha\frac{\partial J(\theta_{j})}{\partial \theta_{j}},j=1,2....k$
Part III C++代码与实现
#include "cstdio"#include "iostream"#include "fstream"#include "vector"#include "sstream"#include "string"#include "math.h"using namespace std;#define N 500#define delta 0.0001#define alpha 0.1#define cin fin#define K 2#define Dim dataSet[0].feature.size()struct Data{ vector feature; int y; Data(vector feature,int y):feature(feature),y(y) {}};struct Parament{ vector w; double b; Parament() {} Parament(vector w,double b):w(w),b(b) {}};vector dataSet;vector parament;void read(){ ifstream fin("fullTrain.txt"); double fea;int cls; string line; while(getline(cin,line)) { stringstream sin(line); vector feature; while(sin>>fea) feature.push_back(fea); cls=feature.back();feature.pop_back(); dataSet.push_back(Data(feature,cls)); } for(int i=0;i (Dim,0.0),0.0));}double calcInner(Parament param,Data data){ double ret=0.0; for(int i=0;i feature; while(sin>>fea) feature.push_back(fea); cls=feature.back();feature.pop_back(); int bestClass=-1;double bestP=-1; for(int i=1;i<=K;i++) { double p=calcProb(i,Data(feature,cls)); if(p>bestP) {bestP=p;bestClass=i;} } cout<<"Test:"<<++no<<" origin:"< <<" classify:"< < delta) { objLW=newLW; gradient(iter); newLW=calcLW(); iter++; //if(iter%5==0) cout<<"iter: "< <<" target value: "< < Part IV 测试
使用Iris鸢尾花数据集：，是三类分类问题
该数据集的第三组数据是非线性的，若K=3训练，则因为非线性数据扰乱，错误率很大。
若K=2，则代码等效于Logistic回归，错误率相近。